有限差分法基本原理_有限差分方法的基本思想和步驟

　　以天線的設(shè)計(jì)為例有限差分法基本原理，天線設(shè)計(jì)離不開理論分析、數(shù)值計(jì)算和驗(yàn)證測(cè)試三種手段。隨著高速計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，計(jì)算電磁學(xué)已成為一門新興的重要學(xué)科，它的發(fā)展將天線設(shè)計(jì)推進(jìn)有限差分法基本原理了一個(gè)新的階段。計(jì)算電磁學(xué)從求解域來說看，有時(shí)域和頻域，從求解的精確度可分為數(shù)值算法和高頻近似的算法。在天線問題中常用的算法有有限差分法基本原理：矩量法（MOM）、有限元法（FEM）和時(shí)域有限差分法（FDTD），數(shù)值方法的基本原理就是把連續(xù)變量函數(shù)離散化，從而建立起收斂的代數(shù)方程組，然后用計(jì)算機(jī)進(jìn)行求解。本文從中選取兩個(gè)典型的算法：時(shí)域有限差分（FDTD）和頻域有限元算法（FEM），并對(duì)其進(jìn)行介紹分析。

　　目前采用時(shí)域有限差分算法的商用軟件有CST、XFDTD等。此算法是將麥克斯韋旋度方程的偏微分形式出發(fā)，直接在時(shí)域進(jìn)行差分離散得到。

　　在各向同性線性媒質(zhì)中，麥克斯韋方程組旋度方程的微分形式為：

　　算法將空間按立方體進(jìn)行剖分電場(chǎng)磁場(chǎng)交替排列，如下圖：

　　電場(chǎng)和磁場(chǎng)在空間交替排列，電磁場(chǎng)的6個(gè)分量在空間的取樣點(diǎn)分布在立方體的邊沿和表面中心點(diǎn)上 。電場(chǎng)和磁場(chǎng)分離在任何分量上始終相差兩個(gè)步長(zhǎng)。在時(shí)間上電場(chǎng)分量和磁場(chǎng)分量也差半個(gè)步長(zhǎng)取一樣。

　　在上述算法中，時(shí)間增量Δt和空間增量Δx，Δy和Δz不是相互獨(dú)立的，有限差分法基本原理他們的取值需要滿足一定的條件，即：

　　這就是此算法需要滿足的Courant穩(wěn)定性條件。

　　在此條件下差分方程的數(shù)值解與原偏微分方程的嚴(yán)格解之間的差有界，否則，計(jì)算結(jié)果將隨著時(shí)間步長(zhǎng)無限制的寄生增長(zhǎng)。除此之外，時(shí)域差分算法在對(duì)麥克斯韋方程組數(shù)值計(jì)算還會(huì)在網(wǎng)格中引起，相速度隨頻率變化，色散現(xiàn)象，導(dǎo)致色散誤差。如果在模擬空間中采用大小不同的網(wǎng)格或包含不同的介質(zhì)區(qū)域，這時(shí)網(wǎng)格尺寸與波長(zhǎng)之比將是位置的函數(shù)，在不同網(wǎng)格或介質(zhì)的交界面處將出現(xiàn)非物理的繞射和反射現(xiàn)象，對(duì)此也應(yīng)該進(jìn)行定量的研究，以保證正確估計(jì)FDTD算法的精度。此誤差除了與頻率和網(wǎng)格大小、時(shí)間步長(zhǎng)有關(guān)，還與波的傳播方向有關(guān)，具有各向異性。減小網(wǎng)格數(shù)目可以有效減小色散誤差。

　　以HFSS為代表的商用軟件采用了頻域有限元算法（FEM），與時(shí)域有限差分算法不同，有限元算法采用四面體元。

HFSS中的三種基函數(shù)

　　它的優(yōu)點(diǎn)是適用于具有復(fù)雜邊界形狀或邊界條件、含有復(fù)雜媒質(zhì)的定解問題。這種方法的各個(gè)環(huán)節(jié)可以實(shí)現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)化，得到通用的計(jì)算程序，而且有較高的計(jì)算精度。HFSS采用自適應(yīng)網(wǎng)格剖分和加密技術(shù)相對(duì)來說有效提高了軟件的計(jì)算效率，自適應(yīng)網(wǎng)格剖分根據(jù)對(duì)場(chǎng)量分布求解后的結(jié)果對(duì)網(wǎng)格進(jìn)行增加剖分密度的調(diào)整，在網(wǎng)格密集區(qū)采用高階插值函數(shù)，以進(jìn)一步提高精度，在場(chǎng)域分布變化劇烈區(qū)域，進(jìn)行多次加密。 和時(shí)域差分算法相比，有限元算法不需要工程師的先驗(yàn)知識(shí)就能較為準(zhǔn)確的得出仿真結(jié)果，而且在PCB的仿真中，由于阻抗不匹配導(dǎo)致振鈴時(shí)，頻域算法更為合適。

　　來源：恩碩科技

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