差分和微分積分和_差分和微分的關(guān)系

　　定積分差分和微分積分和的計(jì)算一般思路與步驟（不定積分計(jì)算思路從step3開始）:

　　Step1：分析積分區(qū)間是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱差分和微分積分和，即為[-a,a]，如果是，則考慮被積函數(shù)的整體或者經(jīng)過加減拆項(xiàng)后的部分是否具有奇偶性，如果有，則考慮使用“偶倍奇零”性質(zhì)簡(jiǎn)化定積分計(jì)算.

　　Step2：考慮被積函數(shù)是否具有周期性，如果是周期函數(shù)，考慮積分區(qū)間的長(zhǎng)度是否為周期的整數(shù)倍，如果是，則利用周期函數(shù)的定積分在任一周期長(zhǎng)度的區(qū)間上的定積分相等的結(jié)論簡(jiǎn)化積分計(jì)算.

　　Step3：考察被積函數(shù)是否可以轉(zhuǎn)換為“反對(duì)冪指三”五類基本函數(shù)中兩個(gè)類型函數(shù)的乘積，或者是否包含有正整數(shù)n參數(shù)，或者包含有抽象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘項(xiàng)，如果是，可考慮使用定積分的分部積分法計(jì)算定積分.

　　Step4：考察被積函數(shù)是否包含有特定結(jié)構(gòu)的函數(shù)，比如根號(hào)下有平方和、或者平方差（或者可以轉(zhuǎn)換為兩項(xiàng)的平和或差的結(jié)構(gòu)），是否有一次根式，對(duì)于有理式是否分母次數(shù)比分子次數(shù)高2次以上差分和微分積分和；是否包含有指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)，對(duì)于具有這樣結(jié)構(gòu)的積分，考慮使用三角代換、根式代換、倒代換或指數(shù)、對(duì)數(shù)代換等；換元的函數(shù)一般選取嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)；與不定積分不同的是，在變量換元后，定積分的上下限必須轉(zhuǎn)換為新的積分變量的范圍，依據(jù)為：上限對(duì)上限、下限對(duì)下限；并且換元后直接計(jì)算出關(guān)于新變量的定積分即為最終結(jié)果，不再需要逆變換換元差分和微分積分和！

　　【注1】不管是分部積分法還是換元法（第一類換元法），一般是將被積函數(shù)分解為兩個(gè)函數(shù)的乘積，然后考察簡(jiǎn)單函數(shù)的原函數(shù)，一般思路為（假設(shè)函數(shù)h(x)為簡(jiǎn)單函數(shù)）：

　　【注2】對(duì)于兩個(gè)函數(shù)的乘積，在尋找h(x)的原函數(shù)的過程中，注意觀察可能的原函數(shù)結(jié)構(gòu)與余下函數(shù)的關(guān)系，通過構(gòu)造函數(shù)（加、減、乘、除函數(shù)項(xiàng)彌補(bǔ)需求）得到函數(shù)的原函數(shù)。

　　考慮到分式求導(dǎo)公式，并結(jié)合導(dǎo)數(shù)結(jié)果，容易發(fā)現(xiàn)，如果求導(dǎo)的函數(shù)多一個(gè)分子x，則正好符合要求，所以就有

　　【注3】考慮簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來尋找余下函數(shù)的關(guān)系來構(gòu)造合適的換元方式與計(jì)算方法。

　　【注4】記得三角代換的三個(gè)三角形用來逆代換三角函數(shù)表達(dá)式.

　　例1：設(shè)

　　求{an} (n=1,2,…)所有項(xiàng)的和．

　　【思路一】

　　【思路二】

　　【思路三】令t=1-x，則

　　從而

　　例2：計(jì)算不定積分

　　【思路】使用以上分解函數(shù)的方法，借助分部積分問題越來越復(fù)雜，由于問題中包含有指數(shù)函數(shù)，又不能直接換成“反對(duì)冪指三”的結(jié)構(gòu)，所以考慮對(duì)指數(shù)函數(shù)換元。

　　【解】：令e3x=t，于是有3x=lnt，x=lnt/3，且dx=1/(3t)dt，于是有

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